2014 AMC 12B Problema 8

Question

En la suma que se muestra a continuación,

A,

B,

C,

y

D

son dígitos distintos. ¿Cuántos valores diferentes son posibles para

D

?

\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}

In the addition shown below

A,

B,

C,

and

D

are distinct digits. How many different values are possible for

D?

\begin{array}{cccccc} & A & B & B & C & B \\ + & B & C & A & D & A \\ \hline & D & B & D & D & D \end{array}

2

4

7

8

9

Respuesta: C

Conceptos:criptoaritmética valor posicional análisis por casos

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

La columna más a la izquierda da

A+B=D

sin acarreo, así que

A+B \le 9

.

The leftmost column gives

A+B=D

with no carry, so

A+B \le 9

Pista grande:

La segunda y la cuarta columna obligan a que

C=0

y a que no haya acarreos en ningún lugar.

The second and fourth columns force

C=0

and no carries anywhere

Solución:

La columna más a la izquierda muestra

A+B = D

sin acarreo de salida, así que

A+B \le 9.

Examinar las columnas de las decenas y de los millares (cada una de la forma

C + \text{dígito} + \text{acarreo}

que produce el mismo dígito) obliga a

C = 0

y elimina todos los acarreos.

Cada columna se reduce entonces a

A+B = D,

con

A, B, C=0

distintos. Como

A

y

B

son dígitos positivos distintos,

D = A+B

puede tomar cualquier valor desde

3

hasta

9,

lo que da

7

posibilidades, por ejemplo

(A,B,C,D) = (1,2,0,3),

(1,3,0,4), \ldots,

(2,7,0,9).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The leftmost column shows

A+B = D

with no carry out, so

A+B \le 9.

Examining the tens and thousands columns (each of the form

C + \text{digit} + \text{carry}

producing the same digit) forces

C = 0

and eliminates all carries.

Every column then reduces to

A+B = D,

with

A, B, C=0

distinct. Since

A

and

B

are distinct positive digits,

D = A+B

can be any value from

3

up to

9,

giving

7

possibilities, for example

(A,B,C,D) = (1,2,0,3),

(1,3,0,4), \ldots,

(2,7,0,9).

Thus, the correct answer is C.