2014 AMC 12B Problema 15

Question

Cuando

p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,

el número

e^p

es un entero. ¿Cuál es la mayor potencia de

2

que es factor de

e^p

?

When

p = \sum_{k=1}^{6} k \ln k,

the number

e^p

is an integer. What is the largest power of

2

that is a factor of

e^p?

2^{12}

2^{14}

2^{16}

2^{18}

2^{20}

Respuesta: C

Conceptos:logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

k \ln k = \ln(k^k),

así que

e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k

.

k \ln k = \ln(k^k),

so

e^p = \prod_{k=1}^{6} k^k

Pista grande:

Solo

2^2,

4^4,

y

6^6

aportan factores de

2

.

Only

2^2,

4^4,

and

6^6

contribute factors of

2

Solución:

Como

k \ln k = \ln(k^k),

la suma da

p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),

así que

e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.

Los factores de

2

provienen de

2^2

(que aporta

2

),

4^4 = 2^8

(que aporta

8

), y

6^6 = 2^6 \cdot 3^6

(que aporta

6

). En total el exponente de

2

es

2 + 8 + 6 = 16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

k \ln k = \ln(k^k),

the sum gives

p = \ln\left(\prod_{k=1}^{6} k^k\right),

so

e^p = 1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdot 4^4 \cdot 5^5 \cdot 6^6.

The factors of

2

come from

2^2

(giving

2

),

4^4 = 2^8

(giving

8

), and

6^6 = 2^6 \cdot 3^6

(giving

6

). In total the exponent of

2

is

2 + 8 + 6 = 16.

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B Problema 15

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años