2014 AMC 12B Problema 10

Question

Danica condujo su coche nuevo en un viaje durante un número entero de horas, con un promedio de

55

millas por hora. Al comienzo del viaje, el odómetro mostraba

abc

millas, donde

abc

es un número de

3

cifras con

a \ge 1

y

a+b+c \le 7.

Al final del viaje, el odómetro mostraba

cba

millas. ¿Cuánto vale

a^2 + b^2 + c^2

?

Danica drove her new car on a trip for a whole number of hours, averaging

55

miles per hour. At the beginning of the trip,

abc

miles was displayed on the odometer, where

abc

is a

3

-digit number with

a \ge 1

and

a+b+c \le 7.

At the end of the trip, the odometer showed

cba

miles. What is

a^2 + b^2 + c^2?

26

27

36

37

41

Respuesta: D

Conceptos:valor posicional divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

La distancia recorrida es

cba - abc = 99(c-a)

.

The distance driven is

cba - abc = 99(c-a)

Pista grande:

También es un múltiplo de

55,

así que es un múltiplo de

\operatorname{lcm}(99,55)=495

.

It is also a multiple of

55,

so it is a multiple of

\operatorname{lcm}(99,55)=495

Solución:

La distancia recorrida es

cba - abc = 99(c-a),

un múltiplo de

9.

Conducir un número entero de horas a

55

mph también la hace un múltiplo de

55

, y por tanto un múltiplo de

495.

Como la diferencia del odómetro es a lo sumo un número de

3

cifras y

a \ge 1,

la distancia debe ser

495,

así que

c - a = 5.

Con

a \ge 1

y

a+b+c \le 7,

la única opción es

a=1,

c=6,

b=0.

Entonces

a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The distance driven is

cba - abc = 99(c-a),

a multiple of

9.

Driving a whole number of hours at

55

mph makes it a multiple of

55

too, hence a multiple of

495.

Since the odometer difference is at most a

3

-digit number and

a \ge 1,

the distance must be

495,

so

c - a = 5.

With

a \ge 1

and

a+b+c \le 7,

the only choice is

a=1,

c=6,

b=0.

Then

a^2+b^2+c^2 = 1 + 0 + 36 = 37.

Thus, the correct answer is D.