Question

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son $\sqrt{3},$ $\sqrt[3]{3},$ y $\sqrt[6]{3}.$ ¿Cuál es el cuarto término?

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt{3},$ $\sqrt[3]{3},$ and $\sqrt[6]{3}.$ What is the fourth term?

$1$

$\sqrt[7]{3}$

$\sqrt[8]{3}$

$\sqrt[9]{3}$

$\sqrt[10]{3}$

Escribiendo los términos como potencias de $3,$ son $3^{1/2},$ $3^{1/3},$ $3^{1/6}.$ La razón común es $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}.$

El cuarto término es $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing the terms as powers of $3,$ they are $3^{1/2},$ $3^{1/3},$ $3^{1/6}.$ The common ratio is $\dfrac{3^{1/3}}{3^{1/2}}=3^{-1/6}.$

The fourth term is $3^{1/6}\cdot3^{-1/6}=3^{0}=1.$

Thus, the correct answer is A.