2014 AMC 12A Problema 6

Question

La diferencia entre un número de dos dígitos y el número que se obtiene al invertir sus dígitos es

5

veces la suma de los dígitos de cualquiera de los dos números. ¿Cuál es la suma del número de dos dígitos y su inverso?

The difference between a two-digit number and the number obtained by reversing its digits is

5

times the sum of the digits of either number. What is the sum of the two-digit number and its reverse?

44

55

77

99

110

Escribe el número como

10a+b

y su inverso como

10b+a

.

Write the number as

10a+b

and its reverse as

10b+a

La diferencia es

9(a-b)

, e igualarla a

5(a+b)

da

2a=7b

.

The difference is

9(a-b)

, and setting it equal to

5(a+b)

gives

2a=7b

Sea

10a+b.

el número mayor. Entonces,

\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}

lo cual se simplifica a

2a=7b.

Los únicos dígitos no nulos que satisfacen esta ecuación son

a=7

y

b=2,

así que el número es

72

y su reverso es

27.

La suma es

72+27=99.

Así, la respuesta correcta es D.

Let the larger number be

10a+b.

Then

\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\\ &\quad{}=5(a+b), \end{aligned}

which simplifies to

2a=7b.

The only nonzero digits satisfying this are

a=7

and

b=2,

so the number is

72

and its reverse is

27.

Their sum is

72+27=99.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 6 en otros años