Question

En el producto $(8)(888\ldots8),$ el segundo factor tiene $k$ dígitos. Ese producto es un entero cuyos dígitos suman $1000.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The product $(8)(888\ldots8),$ where the second factor has $k$ digits, is an integer whose digits have a sum of $1000.$ What is $k?$

$901$

$911$

$919$

$991$

$999$

Al efectuar la multiplicación, $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04,$ que tiene $k-2$ unos.

La suma de dígitos es $7+(k-2)+0+4=k+9.$ Al poner $k+9=1000$ se obtiene $k=991.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By carrying out the multiplication, $8\cdot\underbrace{88\ldots8}_{k}=7\underbrace{1\ldots1}_{k-2}04,$ which has $k-2$ ones.

The digit sum is $7+(k-2)+0+4=k+9.$ Setting $k+9=1000$ gives $k=991.$

Thus, the correct answer is D.