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2013 AMC 12B Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

La recta ℓ1\ell_1 tiene ecuación 3x−2y=13x - 2y = 1 y pasa por A=(−1,−2).A = (-1, -2). La recta ℓ2\ell_2 tiene ecuación y=1y = 1 y corta a la recta ℓ1\ell_1 en el punto B.B. La recta ℓ3\ell_3 tiene pendiente positiva, pasa por el punto A,A, y corta a ℓ2\ell_2 en el punto C.C. El área del △ABC\triangle ABC es 3.3. ¿Cuál es la pendiente de ℓ3\ell_3?
Line ℓ1\ell_1 has equation 3x−2y=13x - 2y = 1 and goes through A=(−1,−2).A = (-1, -2). Line ℓ2\ell_2 has equation y=1y = 1 and meets line ℓ1\ell_1 at point B.B. Line ℓ3\ell_3 has positive slope, goes through point A,A, and meets ℓ2\ell_2 at point C.C. The area of △ABC\triangle ABC is 3.3. What is the slope of ℓ3?\ell_3?
23\dfrac{2}{3}
34\dfrac{3}{4}
11
43\dfrac{4}{3}
32\dfrac{3}{2}
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticaárea del triángulopendiente
Nivel de dificultad: 1460
Pista pequeña:
Halla BB resolviendo 3x−2y=13x - 2y = 1 junto con y=1y = 1.
Find BB by solving 3x−2y=13x - 2y = 1 together with y=1y = 1
Pista grande:
La distancia de AA a la recta ℓ2\ell_2 es 3,3, así que 12⋅BC⋅3=3\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3 da BCBC.
The distance from AA to line ℓ2\ell_2 is 3,3, so 12⋅BC⋅3=3\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3 gives BCBC
Solución:
Al resolver 3x−2y=13x - 2y = 1 con y=1y = 1 se obtiene B=(1,1).B = (1, 1). La distancia de A=(−1,−2)A = (-1, -2) a la recta y=1y = 1 es 3,3, así que 12⋅BC⋅3=3\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3 da BC=2.BC = 2. Entonces C=(3,1)C = (3, 1) o C=(−1,1);C = (-1, 1); esta última hace que ℓ3\ell_3 sea vertical, así que C=(3,1)C = (3, 1) y la pendiente es 1−(−2)3−(−1)=34.\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Solving 3x−2y=13x - 2y = 1 with y=1y = 1 gives B=(1,1).B = (1, 1). The distance from A=(−1,−2)A = (-1, -2) to the line y=1y = 1 is 3,3, so 12⋅BC⋅3=3\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3 gives BC=2.BC = 2. Then C=(3,1)C = (3, 1) or C=(−1,1);C = (-1, 1); the latter makes ℓ3\ell_3 vertical, so C=(3,1)C = (3, 1) and the slope is 1−(−2)3−(−1)=34.\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34. Thus, the correct answer is B.

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