2013 AMC 12A Problema 14

Question

La sucesión

\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}

es una progresión aritmética. ¿Cuánto vale

x

?

The sequence

\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}

is an arithmetic progression. What is

x?

125\sqrt{3}

270

162\sqrt{5}

434

225\sqrt{6}

Diferencias iguales de logaritmos significan que

162, x, y, z, 1250

es una sucesión geométrica

Equal differences of logs mean

162, x, y, z, 1250

is a geometric sequence

Halla la razón común

r

a partir de

162r^4 = 1250

.

Find the common ratio

r

from

162r^4 = 1250

Como los logaritmos están en progresión aritmética,

162, x, y, z, 1250

es una sucesión geométrica. Su razón común

r

satisface

162 r^4 = 1250,

así que

r^4 = \tfrac{625}{81}

y

r = \tfrac53.

Por consiguiente

x = 162\cdot\tfrac53 = 270.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because the logarithms are in arithmetic progression,

162, x, y, z, 1250

is a geometric sequence. Its common ratio

r

satisfies

162 r^4 = 1250,

so

r^4 = \tfrac{625}{81}

and

r = \tfrac53.

Therefore

x = 162\cdot\tfrac53 = 270.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 14 en otros años