2012 AMC 12B Problema 15

Question

Jesse corta un disco circular de papel de radio

12

a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el más pequeño con un ángulo central de

120

grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono más pequeño y el del más grande?

Jesse cuts a circular paper disk of radius

12

along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of

120

degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{\sqrt{10}}{10}

\dfrac{\sqrt{5}}{6}

\dfrac{\sqrt{10}}{5}

Respuesta: C

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La longitud de arco de cada sector se convierte en la circunferencia de la base de ese cono, lo que da su radio de base

The arc length of each sector becomes the circumference of that cone’s base, giving its base radius

Pista grande:

Cada cono tiene generatriz

12,

así que halla cada altura con el teorema de Pitágoras antes de comparar

\tfrac13\pi r^2 h

Each cone has slant height

12,

so find each height with the Pythagorean theorem before comparing

\tfrac13\pi r^2 h

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz

12.

La longitud de arco del sector más pequeño es

\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,

así que su radio de base es

4

y su altura es

\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.

El sector más grande (ángulo central

240^\circ

) tiene longitud de arco

16\pi,

radio de base

8,

y altura

\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.

La razón de volúmenes es

\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each sector forms a cone with slant height

12.

The smaller sector’s arc length is

\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,

so its base radius is

4

and its height is

\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.

The larger sector (central angle

240^\circ

) has arc length

16\pi,

base radius

8,

and height

\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.

The ratio of volumes is

\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.

Thus, the correct answer is C.