2012 AMC 12B Problema 14

Question

Bernardo y Silvia juegan al siguiente juego. Se selecciona un entero entre

0

y

999,

inclusive, y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma

50

y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que

1000.

Sea

N

el menor número inicial que resulta en una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de

N

?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between

0

and

999,

inclusive, is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds

50

to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than

1000.

Let

N

be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of

N?

7

8

9

10

11

Respuesta: A

Conceptos:trabajar hacia atrás desigualdad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Bernardo gana en un turno cuando su resultado duplicado alcanza

1000,

obligando a que el siguiente número de Silvia sea al menos

1000

Bernardo wins on a turn when his doubled result reaches

1000,

forcing Silvia’s next number to be at least

1000

Pista grande:

Trabaja hacia atrás: halla el menor inicio que primero alcanza

\ge1000

tras la jugada de Bernardo, en una, dos, tres o cuatro rondas

Work backwards: find the smallest start that first reaches

\ge1000

after Bernardo’s move, over one, two, three, or four rounds

Solución:

Bernardo gana tras una ronda cuando su número duplicado

2n+50\ge1000

pero los números anteriores se mantuvieron por debajo de

1000.

El menor

n

con

2n+50\ge1000

es

475.

Trabajando hacia atrás, los menores valores iniciales que llevan a una victoria tras dos, tres y cuatro rondas son los menores enteros con

2n+50\ge475,

\ge213,

y

\ge82,

a saber

213,

82,

y

16.

Ningún inicio gana tras más de cuatro rondas.

Así que

N=16,

y la suma de sus dígitos es

1+6=7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bernardo wins after a round when his doubled number

2n+50\ge1000

but the previous numbers stayed below

1000.

The smallest

n

with

2n+50\ge1000

is

475.

Working backwards, the smallest starting values that lead to a win after two, three, and four rounds are the smallest integers with

2n+50\ge475,

\ge213,

and

\ge82,

namely

213,

82,

and

16.

No start wins after more than four rounds.

So

N=16,

and the sum of its digits is

1+6=7.

Thus, the correct answer is A.