2012 AMC 12B Problema 10

Question

¿Cuál es el área del polígono cuyos vértices son los puntos de intersección de las curvas

x^2 + y^2 = 25

y

(x - 4)^2 + 9y^2 = 81

?

What is the area of the polygon whose vertices are the points of intersection of the curves

x^2 + y^2 = 25

and

(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?

24

27

36

37.5

42

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución área del triángulo

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Despeja

y^2

de la primera ecuación y sustitúyelo en la segunda

Solve the first equation for

y^2

and substitute into the second

Pista grande:

Los tres puntos de intersección forman un triángulo; usa un lado vertical como base

The three intersection points form a triangle; use one vertical side as the base

Solución:

De

x^2+y^2=25

obtenemos

y^2=25-x^2.

Sustituyendo en

(x-4)^2+9y^2=81

da

x^2+x-20=0,

así que

x=4

o

x=-5.

Los puntos de intersección son

(-5,0),

(4,3),

y

(4,-3).

El lado vertical de

(4,3)

a

(4,-3)

tiene longitud

6,

y la distancia horizontal a

(-5,0)

es

9,

de modo que el área es

\tfrac12\cdot6\cdot9=27.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From

x^2+y^2=25

we get

y^2=25-x^2.

Substituting into

(x-4)^2+9y^2=81

gives

x^2+x-20=0,

so

x=4

or

x=-5.

The intersection points are

(-5,0),

(4,3),

and

(4,-3).

The vertical side from

(4,3)

to

(4,-3)

has length

6,

and the horizontal distance to

(-5,0)

is

9,

so the area is

\tfrac12\cdot6\cdot9=27.

Thus, the correct answer is B.