2011 AMC 12A Problema 19

Question

En una competición con

N

jugadores, la cantidad de jugadores a los que se les otorga estatus de élite es igual a

2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.

Supongamos que a

19

jugadores se les otorga estatus de élite. ¿Cuál es la suma de los dos menores valores posibles de

N

?

Nota:

\lfloor x \rfloor

es el mayor entero menor o igual que

x.

At a competition with

N

players, the number of players given elite status is equal to

2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.

Suppose that

19

players are given elite status. What is the sum of the two smallest possible values of

N?

Note:

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x.

38

90

154

406

1024

Respuesta: C

Conceptos:funciones piso y techo potencia de 2 análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea

m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,

entonces

N = 2^{m+1} - 19

Let

m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,

so

N = 2^{m+1} - 19

Pista grande:

Para que ese

m

sea consistente,

2^m \le N - 1,

lo que obliga a

2^m \ge 20

For that

m

to be consistent,

2^m \le N - 1,

which forces

2^m \ge 20

Solución:

Sea

m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,

así que la cantidad de élite es

2^{m+1} - N = 19,

lo que da

N = 2^{m+1} - 19.

La consistencia requiere

2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,

es decir

2^m \ge 20,

así que

m \ge 5.

Las dos menores opciones son

m = 5

que da

N = 64 - 19 = 45,

y

m = 6

que da

N = 128 - 19 = 109.

Su suma es

154.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,

so the elite count is

2^{m+1} - N = 19,

giving

N = 2^{m+1} - 19.

Consistency requires

2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,

i.e.

2^m \ge 20,

so

m \ge 5.

The two smallest choices are

m = 5

giving

N = 64 - 19 = 45,

and

m = 6

giving

N = 128 - 19 = 109.

Their sum is

154.

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A Problema 19

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años