2010 AMC 12B Problema 6

Question

Al comienzo del año escolar,

50\%

de todos los estudiantes en la clase de matemáticas del Sr. Wells respondieron “Sí” a la pregunta “¿Amas las matemáticas?”, y

50\%

respondieron “No”. Al final del año escolar,

70\%

respondieron “Sí” y

30\%

respondieron “No”. En total,

x\%

de los estudiantes dieron una respuesta diferente al comienzo y al final del año escolar. ¿Cuál es la diferencia entre los valores máximo y mínimo posibles de

x

?

At the beginning of the school year,

50\%

of all students in Mr. Wells’ math class answered “Yes” to the question “Do you love math”, and

50\%

answered “No.” At the end of the school year,

70\%

answered “Yes” and

30\%

answered “No.” Altogether,

x\%

of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of

x?

0

20

40

60

80

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje argumento extremal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Supón

100

estudiantes; el número de “Sí” sube de

50

a

70

Assume

100

students; the “Yes” count rises from

50

to

70

Pista grande:

Al menos

20

deben cambiar, y solo

30

terminan con “No”, lo que acota cuántos pueden cambiar

At least

20

must switch, and only

30

end with “No,” bounding how many can switch

Solución:

Supón

100

estudiantes. El número de respuestas “Sí” sube de

50

a

70,

así que al menos

70-50=20

estudiantes cambiaron de “No” a “Sí”; por lo tanto

x\ge20.

Como solo

30

estudiantes responden “No” al final, al menos

50-30=20

de los estudiantes que originalmente respondieron “Sí” siguen respondiendo “Sí”, así que a lo sumo

80

estudiantes cambiaron; por lo tanto

x\le80.

Ambos extremos son alcanzables, así que la diferencia es

80-20=60.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Assume

100

students. The number of “Yes” answers rises from

50

to

70,

so at least

70-50=20

students switched from “No” to “Yes”; thus

x\ge20.

Since only

30

students answer “No” at the end, at least

50-30=20

of the original “Yes” students still answer “Yes,” so at most

80

students switched; thus

x\le80.

Both extremes are achievable, so the difference is

80-20=60.

Thus, the correct answer is D.