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2010 AMC 12A Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

El triángulo ABCABC cumple AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Sean DD y EE puntos sobre AB‾\overline{AB} y BC‾,\overline{BC}, respectivamente, tales que ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Sea FF la intersección de los segmentos AEAE y CD,CD, y supongamos que △CFE\triangle CFE es equilátero. ¿Cuánto vale ∠ACB\angle ACB?
Triangle ABCABC has AB=2⋅AC.AB=2 \cdot AC. Let DD and EE be on AB‾\overline{AB} and BC‾,\overline{BC}, respectively, such that ∠BAE=∠ACD.\angle BAE = \angle ACD. Let FF be the intersection of segments AEAE and CD,CD, and suppose that △CFE\triangle CFE is equilateral. What is ∠ACB?\angle ACB?
60∘60^\circ
75∘75^\circ
90∘90^\circ
105∘105^\circ
120∘120^\circ
Respuesta: C
Conceptos:persecución de ángulostriángulo equiláterotriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1660
Pista pequeña:
Sea ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x.
Let ∠BAE=∠ACD=x\angle BAE=\angle ACD=x
Pista grande:
Usa △CFE\triangle CFE para hallar ∠AFC,\angle AFC, luego persigue ángulos para ∠BAC\angle BAC.
Use △CFE\triangle CFE to find ∠AFC,\angle AFC, then angle-chase ∠BAC\angle BAC
Solución:
Sea ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE=\angle ACD=x. Como △CFE\triangle CFE es equilátero, ∠CFE=60∘.\angle CFE=60^\circ. Los rayos FAFA y FEFE son opuestos, así que ∠AFC=120∘.\angle AFC=120^\circ.
En △AFC,\triangle AFC, obtenemos ∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x.=60^\circ-x. Como FF está en AE,AE, este ángulo es ∠EAC.\angle EAC. Entonces ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘.\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.
Sea AC=s,AC=s, de modo que AB=2s.AB=2s. La ley de cosenos da BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2. \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned} Así, los lados están en razón 1:3:2,1:\sqrt3:2, con ABAB como hipotenusa, por lo que ∠ACB=90∘.\angle ACB=90^\circ.
Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Let ∠BAE=∠ACD=x.\angle BAE=\angle ACD=x. Because △CFE\triangle CFE is equilateral, ∠CFE=60∘.\angle CFE=60^\circ. Rays FAFA and FEFE are opposite, so ∠AFC=120∘.\angle AFC=120^\circ.
In △AFC,\triangle AFC, we get ∠FAC=180∘−120∘−x\angle FAC=180^\circ-120^\circ-x =60∘−x.=60^\circ-x. Since FF lies on AE,AE, this is ∠EAC.\angle EAC. Hence ∠BAC=x+(60∘−x)=60∘.\angle BAC=x+(60^\circ-x)=60^\circ.
Put AC=s,AC=s, so AB=2s.AB=2s. The Law of Cosines gives BC2=s2+(2s)2−2(s)(2s)cos⁡60∘=3s2. \begin{aligned} BC^2 &= s^2+(2s)^2 \\ &\quad-2(s)(2s)\cos60^\circ \\ &=3s^2. \end{aligned} Thus the side lengths are in the ratio 1:3:2,1:\sqrt3:2, with ABAB the hypotenuse, so ∠ACB=90∘.\angle ACB=90^\circ.
Thus, C is the correct answer.

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