2010 AMC 12A Problema 11

Question

La solución de la ecuación

7^{x+7}=8^x

puede expresarse en la forma

x=\log_b 7^7.

¿Cuánto vale

b

?

The solution of the equation

7^{x+7}=8^x

can be expressed in the form

x=\log_b 7^7.

What is

b?

\dfrac{7}{15}

\dfrac{7}{8}

\dfrac{8}{7}

\dfrac{15}{8}

\dfrac{15}{7}

x=\log_b 7^7

significa que

b^x=7^7

.

x=\log_b 7^7

means

b^x=7^7

Multiplica para combinar las bases:

(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}

.

Multiply to combine the bases:

(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}

Como

x=\log_b 7^7,

tenemos

b^x=7^7.

Entonces

\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}

Como

x\gt0,

se sigue que

7b=8,

así que

b=\dfrac{8}{7}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since

x=\log_b 7^7,

we have

b^x=7^7.

Then

\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}

Because

x\gt0,

it follows that

7b=8,

so

b=\dfrac{8}{7}.

Thus, C is the correct answer.

El Problema 11 en otros años