2009 AMC 12B Problema 15

Question

Supón que

0 \lt r \lt 3.

A continuación hay cinco ecuaciones para

x.

¿Qué ecuación tiene la mayor solución

x

?

Assume

0 \lt r \lt 3.

Below are five equations for

x.

Which equation has the largest solution

x?

3(1 + r)^x = 7

3(1 + \frac{r}{10})^x = 7

3(1 + 2r)^x = 7

3(1 + \sqrt{r})^x = 7

3(1 + \frac{1}{r})^x = 7

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Al resolver cada una se obtiene

x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}

; una base menor hace

x

más grande.

Solving each gives

x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))}

; a smaller base makes

x

larger

Pista grande:

Compara los valores

r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}

para

0 \lt r \lt 3

y halla el menor.

Compare the values

r,\ \frac{r}{10},\ 2r,\ \sqrt{r},\ \frac{1}{r}

for

0 \lt r \lt 3

and find the smallest

Solución:

Cada ecuación da

x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},

que es mayor cuando la cantidad positiva

f(r)

es menor.

Para

0 \lt r \lt 3,

tenemos

\dfrac r{10}\lt r\lt2r

y

\dfrac r{10}\lt\sqrt r

porque

r\lt100.

Además,

r^2\lt9\lt10,

así que

\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.

Por tanto,

\frac{r}{10}

es la menor de las cinco cantidades, y la ecuación (B) tiene la mayor solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each equation gives

x = \dfrac{\log(\frac{7}{3})}{\log(1 + f(r))},

which is largest when the positive quantity

f(r)

is smallest.

For

0 \lt r \lt 3,

we have

\dfrac r{10}\lt r\lt2r

and

\dfrac r{10}\lt\sqrt r

because

r\lt100.

Also

r^2\lt9\lt10,

so

\dfrac r{10}\lt\dfrac1r.

Thus

\frac{r}{10}

is the smallest of the five quantities, and equation (B) has the largest solution.

Thus, the correct answer is B.