2009 AMC 12A Problema 8

Question

Se colocan cuatro rectángulos congruentes como se muestra. El área del cuadrado exterior es

4

veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is

4

times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

3

\sqrt{10}

2 + \sqrt{2}

2\sqrt{3}

4

Respuesta: A

Conceptos:razón de áreas cuadrado (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Sea

x

el lado más corto de cada rectángulo y

y

el más largo.

Let each rectangle have shorter side

x

and longer side

y

Pista grande:

El cuadrado exterior tiene lado

x + y,

el interior tiene lado

y - x,

y la razón de sus lados es

\sqrt{4} = 2

.

The outer square has side

x + y,

the inner square has side

y - x,

and their side ratio is

\sqrt{4} = 2

Solución:

Los rectángulos tienen lado más corto

x

y lado más largo

y.

El cuadrado exterior tiene lado

x + y

y el interior tiene lado

y - x.

Como el área exterior es

4

veces la interior, la razón de los lados es

\sqrt{4} = 2,

así que

x + y = 2(y - x).

Esto da

y = 3x,

así que la razón del lado más largo al más corto es

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the rectangles have shorter side

x

and longer side

y.

The outer square has side

x + y

and the inner square has side

y - x.

Since the outer area is

4

times the inner area, the side ratio is

\sqrt{4} = 2,

so

x + y = 2(y - x).

This gives

y = 3x,

so the ratio of longer to shorter side is

3.

Thus, the correct answer is A.