2009 AMC 12A Problema 11

Question

Las figuras

F_1,

F_2,

F_3,

y

F_4

que se muestran son las primeras de una sucesión de figuras. Para

n \ge 3,

F_n

se construye a partir de

F_{n-1}

rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que

F_{n-1}

tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura

F_3

tiene

13

rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura

F_{20}

?

The figures

F_1,

F_2,

F_3,

and

F_4

shown are the first in a sequence of figures. For

n \ge 3,

F_n

is constructed from

F_{n-1}

by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than

F_{n-1}

had on each side of its outside square. For example, figure

F_3

has

13

diamonds. How many diamonds are there in figure

F_{20}?

401

485

585

626

761

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El cuadrado exterior de

F_n

tiene

4(n - 1)

rombos.

The outside square of

F_n

has

4(n - 1)

diamonds

Pista grande:

Sumando sobre todos los anillos,

F_n

tiene

1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)

rombos.

Summing over all rings,

F_n

has

1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)

diamonds

Solución:

El cuadrado exterior de

F_n

tiene

4

rombos más que el de

F_{n-1},

y el cuadrado exterior de

F_2

tiene

4,

así que el cuadrado exterior de

F_n

tiene

4(n - 1)

rombos.

Sumando todos los anillos,

\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}

Para

n = 20,

esto es

1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The outside square of

F_n

has

4

more diamonds than that of

F_{n-1},

and the outside square of

F_2

has

4,

so the outside square of

F_n

has

4(n - 1)

diamonds.

Adding all the rings,

\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}

For

n = 20,

this is

1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 11

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años