2008 AMC 12B Problema 11

Question

Una montaña con forma de cono tiene su base en el fondo del océano y una altura de

8000

pies. El

\tfrac{1}{8}

superior del volumen de la montaña está sobre el agua. ¿Cuál es la profundidad del océano en la base de la montaña, en pies?

A cone-shaped mountain has its base on the ocean floor and has a height of

8000

feet. The top

\tfrac{1}{8}

of the volume of the mountain is above water. What is the depth of the ocean at the base of the mountain, in feet?

4000

2000(4 - \sqrt{2})

6000

6400

7000

La parte sobre el agua es un cono más pequeño semejante a toda la montaña.

The above-water part is a smaller cone similar to the whole mountain

La razón de volúmenes

\tfrac{1}{8}

es el cubo de la razón de alturas; la profundidad es la altura total menos la altura del cono sobre el agua.

The volume ratio

\tfrac{1}{8}

is the cube of the height ratio; the depth is the total height minus the above-water cone’s height

La parte sobre el agua es un cono semejante a toda la montaña, con volumen

\tfrac{1}{8}

del total. Como el volumen escala como el cubo de la longitud, la altura del cono sobre el agua es

\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}} = \tfrac{1}{2}

de la altura completa.

Así que la altura sobre el agua es

8000 \cdot \tfrac{1}{2} = 4000

pies.

La profundidad del océano en la base es la altura sumergida,

8000 - 4000 = 4000

pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The part above the water is a cone similar to the whole mountain, with volume

\tfrac{1}{8}

of the total. Since volume scales as the cube of length, the above-water cone’s height is

\sqrt[3]{\tfrac{1}{8}} = \tfrac{1}{2}

of the full height.

So the above-water height is

8000 \cdot \tfrac{1}{2} = 4000

feet.

The ocean depth at the base is the submerged height,

8000 - 4000 = 4000

feet.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 11 en otros años