2007 AMC 12B Problema 15

Question

La serie geométrica

a+ar+ar^2+\cdots

tiene una suma de

7,

y los términos que involucran potencias impares de

r

tienen una suma de

3.

¿Cuánto vale

a+r

?

The geometric series

a+ar+ar^2+\cdots

has a sum of

7,

and the terms involving odd powers of

r

have a sum of

3.

What is

a+r?

\dfrac{4}{3}

\dfrac{12}{7}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{7}{3}

\dfrac{5}{2}

Los términos de potencia par suman

7-3=4

.

The even-power terms sum to

7-3=4

La serie de potencias impares es

r

veces la serie de potencias pares, así que

3=r\cdot4

.

The odd-power series is

r

times the even-power series, so

3=r\cdot4

Los términos de potencia impar son

ar+ar^3+\cdots

=r(a+ar^2+\cdots),

es decir,

r

veces los términos de potencia par. Los términos de potencia par suman

7-3=4.

Así que

3=4r,

lo que da

r=\tfrac34.

Entonces

a=7(1-r)=\tfrac74,

y

a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The odd-power terms are

ar+ar^3+\cdots

=r(a+ar^2+\cdots),

that is,

r

times the even-power terms. The even-power terms sum to

7-3=4.

So

3=4r,

giving

r=\tfrac34.

Then

a=7(1-r)=\tfrac74,

and

a+r=\dfrac74+\dfrac34=\dfrac52.

Thus, the correct answer is E.

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