2006 AMC 12B Problema 10

Question

En un triángulo con longitudes de lado enteras, un lado es tres veces más largo que un segundo lado, y la longitud del tercer lado es

15.

¿Cuál es el mayor perímetro posible del triángulo?

In a triangle with integer side lengths, one side is three times as long as a second side, and the length of the third side is

15.

What is the greatest possible perimeter of the triangle?

43

44

45

46

47

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sean los lados

x,

3x,

y

15,

y luego aplica la desigualdad triangular.

Let the sides be

x,

3x,

and

15,

then apply the triangle inequality

Pista grande:

La condición determinante es

x + 15 \gt 3x,

que limita cuán grande puede ser

x

.

The binding condition is

x + 15 \gt 3x,

which caps how large

x

can be

Solución:

Sean los lados

x,

3x,

y

15.

La desigualdad triangular exige

x + 3x \gt 15,

así que

x \geq 4,

y

x + 15 \gt 3x,

así que

x \leq 7.

El perímetro

4x + 15

es máximo cuando

x = 7,

lo que da

7 + 21 + 15 = 43.

Así, la respuesta correcta es A.

Let the sides be

x,

3x,

and

15.

The triangle inequality requires

x + 3x \gt 15,

so

x \geq 4,

and

x + 15 \gt 3x,

so

x \leq 7.

The perimeter

4x + 15

is largest when

x = 7,

giving

7 + 21 + 15 = 43.

Thus, the correct answer is A.