2006 AMC 12A Problema 21

Question

Sea

\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}

y

\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.

¿Cuál es la razón entre el área de

S_2

y el área de

S_1

?

Let

\tiny S_1 = \{(x, y) \mid \log_{10}(1 + x^2 + y^2) \le 1 + \log_{10}(x + y)\}

and

\tiny S_2 = \{(x, y) \mid \log_{10}(2 + x^2 + y^2) \le 2 + \log_{10}(x + y)\}.

What is the ratio of the area of

S_2

to the area of

S_1?

98

99

100

101

102

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo completar el cuadrado área del círculo

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Para

j = 1, 2,

reescribe la condición como

j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)

.

For

j = 1, 2,

rewrite the condition as

j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y)

Pista grande:

Completa el cuadrado para obtener discos, luego compara sus radios al cuadrado.

Complete the square to get disks, then compare their squared radii

Solución:

Para

j = 1, 2,

la condición se convierte en

j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),

es decir,

\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}

Son discos con radios al cuadrado

\tfrac{100}{2} - 1 = 49

para

S_1

y

\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998

para

S_2.

Los logaritmos exigen

x+y>0.

Para cada disco, el cuadrado de la distancia de su centro a la recta

x+y=0

es

\tfrac{10^{2j}}{2},

que es

j

mayor que el radio al cuadrado. Por tanto, ambos discos están completamente en

x+y>0,

así que no se añadieron puntos al reescribir las desigualdades. La razón de áreas es

\dfrac{4998}{49} = 102.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For

j = 1, 2,

the condition becomes

j + x^2 + y^2 \le 10^j(x + y),

i.e.

\begin{gathered} \left(x - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ {}+ \left(y - \frac{10^j}{2}\right)^2 \\ \le \frac{10^{2j}}{2} - j. \end{gathered}

These are disks with squared radii

\tfrac{100}{2} - 1 = 49

for

S_1

and

\tfrac{10000}{2} - 2 = 4998

for

S_2.

The logarithms require

x+y>0.

For each disk, the squared distance from its center to the line

x+y=0

is

\tfrac{10^{2j}}{2},

which is

j

more than the squared radius. Hence both disks lie entirely in

x+y>0,

so no points were added when the inequalities were rewritten. The area ratio is

\dfrac{4998}{49} = 102.

Thus, the correct answer is E.