2005 AMC 12B Problema 6

Question

En

\triangle ABC,

tenemos

AC = BC = 7

y

AB = 2.

Supongamos que

D

es un punto sobre la recta

AB

tal que

B

está entre

A

y

D

y

CD = 8.

¿Cuánto vale

BD

?

In

\triangle ABC,

we have

AC = BC = 7

and

AB = 2.

Suppose that

D

is a point on line

AB

such that

B

lies between

A

and

D

and

CD = 8.

What is

BD?

3

2\sqrt{3}

4

5

4\sqrt{2}

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Traza la altura desde

C

a la recta

AB

; esta corta a

AB

en su punto medio

H

.

Drop the altitude from

C

to line

AB

; it meets

AB

at its midpoint

H

Pista grande:

CH^2 = 7^2 - 1^2,

y

CD^2 = CH^2 + HD^2

con

HD = 1 + BD

.

CH^2 = 7^2 - 1^2,

and

CD^2 = CH^2 + HD^2

with

HD = 1 + BD

Solución:

Sea

H

el pie de la altura desde

C

a la recta

AB.

Como

\triangle ABC

es isósceles con

AC = BC,

H

es el punto medio de

AB,

así que

AH = HB = 1.

Entonces

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.

Aplicando el Teorema de Pitágoras a

\triangle CHD

con

HD = HB + BD = 1 + BD

se obtiene

8^2 = 48 + (1 + BD)^2,

así que

(1 + BD)^2 = 16.

En consecuencia

1 + BD = 4,

lo que significa que

BD = 3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

H

be the foot of the altitude from

C

to line

AB.

Since

\triangle ABC

is isosceles with

AC = BC,

H

is the midpoint of

AB,

so

AH = HB = 1.

Then

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.

Applying the Pythagorean Theorem to

\triangle CHD

with

HD = HB + BD = 1 + BD

gives

8^2 = 48 + (1 + BD)^2,

so

(1 + BD)^2 = 16.

Therefore

1 + BD = 4,

which means

BD = 3.

Thus, the correct answer is A.