2005 AMC 12A Problema 14

Question

En un dado estándar se quita uno de los puntos al azar, siendo cada punto igualmente probable de ser elegido. Luego se lanza el dado. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara superior tenga un número impar de puntos?

On a standard die one of the dots is removed at random with each dot equally likely to be chosen. The die is then rolled. What is the probability that the top face has an odd number of dots?

\dfrac{5}{11}

\dfrac{10}{21}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{11}{21}

\dfrac{6}{11}

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad condicional paridad

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Un dado estándar tiene

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

puntos, así que el punto quitado proviene de la cara

n

con probabilidad

\dfrac{n}{21}

.

A standard die has

1 + 2 + \cdots + 6 = 21

dots, so the removed dot comes from face

n

with probability

\dfrac{n}{21}

Pista grande:

Quitar un punto de una cara par la vuelve impar; quitarlo de una cara impar la vuelve par.

Removing a dot from an even face makes it odd; removing from an odd face makes it even

Solución:

El dado tiene

21

puntos, así que se quita un punto de la cara con

n

puntos con probabilidad

\dfrac{n}{21}.

Si se quita un punto de una cara impar, esa cara pasa a ser par y quedan dos caras impares, de modo que la cara superior es impar con probabilidad

\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

; si se quita de una cara par, esa cara pasa a ser impar y quedan cuatro caras impares, de modo que la probabilidad es

\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.

El punto quitado está en una cara impar con probabilidad

\dfrac{1 + 3 + 5}{21}

y en una cara par con probabilidad

\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.

Por lo tanto la respuesta es

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.

Así, la respuesta correcta es D.

The die has

21

dots, so a dot is removed from the face with

n

dots with probability

\dfrac{n}{21}.

If a dot is removed from an odd face, that face becomes even, leaving two odd faces and hence probability

\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

of an odd top. If a dot is removed from an even face, that face becomes odd, leaving four odd faces and hence probability

\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.

The removed dot lies on an odd face with probability

\dfrac{1 + 3 + 5}{21}

and on an even face with probability

\dfrac{2 + 4 + 6}{21}.

Hence the answer is

\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{21} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{12}{21} = \dfrac{33}{63} = \dfrac{11}{21}.

Thus, the correct answer is D.