2004 AMC 12A Problema 14

Question

Una sucesión de tres números reales forma una progresión aritmética con primer término

9.

Si se suma

2

al segundo término y se suma

20

al tercer término, los tres números resultantes forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible del tercer término de la progresión geométrica?

A sequence of three real numbers forms an arithmetic progression with a first term of

9.

If

2

is added to the second term and

20

is added to the third term, the three resulting numbers form a geometric progression. What is the smallest possible value for the third term of the geometric progression?

1

4

36

49

81

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Escribe los términos aritméticos como

9,

9 + d,

9 + 2d

.

Write the arithmetic terms as

9,

9 + d,

9 + 2d

Pista grande:

En una progresión geométrica el cuadrado del término medio es igual al producto de los términos extremos.

In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms

Solución:

La progresión aritmética es

9,

9 + d,

9 + 2d.

Después de las sumas, la progresión geométrica es

9,

11 + d,

29 + 2d.

La condición geométrica da

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),

que se simplifica a

d^2 + 4d - 140 = 0,

así que

d = 10

o

d = -14.

Los terceros términos correspondientes

29 + 2d

son

49

y

1,

así que el menor valor posible es

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The arithmetic progression is

9,

9 + d,

9 + 2d.

After the additions, the geometric progression is

9,

11 + d,

29 + 2d.

The geometric condition gives

(11 + d)^2 = 9(29 + 2d),

which simplifies to

d^2 + 4d - 140 = 0,

so

d = 10

or

d = -14.

The corresponding third terms

29 + 2d

are

49

and

1,

so the smallest possible value is

1.

Thus, the correct answer is A.