2003 AMC 12B Problema 6

Question

El segundo y el cuarto término de una sucesión geométrica son

2

y

6.

¿Cuál de las siguientes opciones es un posible primer término?

The second and fourth terms of a geometric sequence are

2

and

6.

Which of the following is a possible first term?

-\sqrt{3}

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\sqrt{3}

3

Respuesta: B

Conceptos:sucesión geométrica radical

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Si el primer término es

a

y la razón es

r,

entonces

ar = 2

y

ar^3 = 6

If the first term is

a

and the ratio is

r,

then

ar = 2

and

ar^3 = 6

Pista grande:

Al dividir las dos ecuaciones se obtiene

r^2 = 3,

así que

r = \pm\sqrt{3}

Dividing the two equations gives

r^2 = 3,

so

r = \pm\sqrt{3}

Solución:

Sea

a

el primer término y

r

la razón común. Entonces

ar = 2

y

ar^3 = 6,

así que

r^2 = 3

y

r = \pm\sqrt{3}.

El primer término es

a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.

La opción

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

aparece entre las opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the first term be

a

and the common ratio

r.

Then

ar = 2

and

ar^3 = 6,

so

r^2 = 3

and

r = \pm\sqrt{3}.

The first term is

a = \frac{2}{r} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.

The choice

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

appears among the options.

Thus, the correct answer is B.