2003 AMC 12A Problema 15

Question

Un semicírculo de diámetro

1

se apoya en la parte superior de un semicírculo de diámetro

2,

como se muestra. El área sombreada dentro del semicírculo menor y fuera del semicírculo mayor se llama lúnula. Determina el área de esta lúnula.

A semicircle of diameter

1

sits at the top of a semicircle of diameter

2,

as shown. The shaded area inside the smaller semicircle and outside the larger semicircle is called a lune. Determine the area of this lune.

\dfrac{1}{6}\pi - \dfrac{\sqrt{3}}{4}

\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{12}\pi

\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{24}\pi

\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{24}\pi

\dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{1}{12}\pi

Respuesta: C

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El diámetro pequeño es una cuerda de longitud

1

en el círculo grande de radio

1

, que abarca un arco de

60^\circ

.

The small diameter is a chord of length

1

in the large radius-

1

circle, spanning a

60^\circ

arc

Pista grande:

Lúnula

=

(triángulo equilátero

+

semicírculo pequeño)

-

el sector de

60^\circ

del círculo grande.

Lune

=

(equilateral triangle

+

small semicircle)

-

the

60^\circ

sector of the large circle

Solución:

El diámetro del semicírculo pequeño es una cuerda de longitud

1

en el círculo grande de radio

1,

así que subtiende un ángulo de

60^\circ

en el centro.

La región limitada por esa cuerda y el arco pequeño es un triángulo equilátero de área

\dfrac{\sqrt3}{4}

coronado por el semicírculo pequeño de área

\dfrac12\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{\pi}{8}.

Restando el sector de

60^\circ

del círculo grande,

\dfrac16\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{6},

se obtiene el área de la lúnula

\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\pi}{24}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The small semicircle’s diameter is a chord of length

1

in the large circle of radius

1,

so it subtends a

60^\circ

angle at the center.

The region bounded by that chord and the small arc is an equilateral triangle of area

\dfrac{\sqrt3}{4}

topped by the small semicircle of area

\dfrac12\pi\left(\dfrac12\right)^2=\dfrac{\pi}{8}.

Subtracting the

60^\circ

sector of the large circle,

\dfrac16\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{6},

gives the lune area

\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\pi}{24}.

Thus, the correct answer is C.