2003 AMC 12A Problema 14

Question

Los puntos

K,

L,

M,

y

N

están en el plano del cuadrado

ABCD

de modo que

AKB,

BLC,

CMD,

y

DNA

son triángulos equiláteros. Si

ABCD

tiene un área de

16,

halla el área de

KLMN.

Points

K,

L,

M,

and

N

lie in the plane of the square

ABCD

so that

AKB,

BLC,

CMD,

and

DNA

are equilateral triangles. If

ABCD

has an area of

16,

find the area of

KLMN.

32

16 + 16\sqrt{3}

48

32 + 16\sqrt{3}

64

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero cuadrado (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

KLMN

es un cuadrado por la simetría rotacional de la figura.

KLMN

is a square by the rotational symmetry of the figure

Pista grande:

Su diagonal

KM

es igual al lado del cuadrado más dos veces la altura del triángulo

2\sqrt3

.

Its diagonal

KM

equals the square’s side plus twice the triangle height

2\sqrt3

Solución:

El cuadrado

ABCD

tiene lado

4.

Por la simetría rotacional de

90^\circ

,

KLMN

también es un cuadrado.

Cada triángulo equilátero sobre un lado de longitud

4

tiene altura

2\sqrt3,

así que la diagonal

KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.

Un cuadrado con diagonal

d

tiene área

\dfrac12 d^2,

así que

[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2

=32+16\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The square

ABCD

has side

4.

By the

90^\circ

rotational symmetry,

KLMN

is also a square.

Each equilateral triangle on a side of length

4

has height

2\sqrt3,

so the diagonal

KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.

A square with diagonal

d

has area

\dfrac12 d^2,

so

[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2

=32+16\sqrt3.

Thus, the correct answer is D.