2002 AMC 12B Problema 6

Question

Supón que

a

y

b

son números reales no nulos, y que la ecuación

x^2+ax+b=0

tiene por soluciones

a

y

b.

Entonces el par

(a,b)

es

Suppose that

a

and

b

are nonzero real numbers, and that the equation

x^2+ax+b=0

has solutions

a

and

b.

Then the pair

(a,b)

is

(-2,1)

(-1,2)

(1,-2)

(2,-1)

(4,4)

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Si

a

y

b

son las raíces, entonces

x^2+ax+b=(x-a)(x-b)

.

If

a

and

b

are the roots, then

x^2+ax+b=(x-a)(x-b)

Pista grande:

Iguala coeficientes:

a+b=-a

y

ab=b,

usando

b\neq0

.

Match coefficients:

a+b=-a

and

ab=b,

using

b\neq0

Solución:

Como

a

y

b

son las raíces,

\begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered}

Igualar coeficientes da

a+b=-a

y

ab=b.

Como

b\neq0,

la segunda ecuación da

a=1,

y luego

a+b=-a

da

b=-2.

Así

(a,b)=(1,-2).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

a

and

b

are the roots,

\begin{gathered} x^2+ax+b \\ {}=(x-a)(x-b) \\ {}=x^2-(a+b)x+ab. \end{gathered}

Matching coefficients gives

a+b=-a

and

ab=b.

As

b\neq0,

the second equation gives

a=1,

and then

a+b=-a

gives

b=-2.

So

(a,b)=(1,-2).

Thus, the correct answer is C.