2000 AMC 12 Problema 7

Question

¿Cuántos enteros positivos

b

tienen la propiedad de que

\log_b 729

es un entero positivo?

How many positive integers

b

have the property that

\log_b 729

is a positive integer?

0

1

2

3

4

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo conteo de factores potencia perfecta

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Si

\log_b 729 = n,

entonces

b^n = 729 = 3^6

.

If

\log_b 729 = n,

then

b^n = 729 = 3^6

Pista grande:

Para que

b

sea un entero,

n

debe ser un divisor positivo de

6

.

For

b

to be an integer,

n

must be a positive divisor of

6

Solución:

Si

\log_b 729 = n,

entonces

b^n = 729 = 3^6,

de modo que

n

debe ser un divisor positivo de

6.

Las posibilidades

n = 1, 2, 3, 6

dan

b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,

es decir,

729, 27, 9,

y

3.

Hay

4

valores de

b

de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

\log_b 729 = n,

then

b^n = 729 = 3^6,

so

n

must be a positive divisor of

6.

The possibilities

n = 1, 2, 3, 6

give

b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,

that is,

729, 27, 9,

and

3.

There are

4

such values of

b.

Thus, the correct answer is E.