Question

¿Cuántos enteros positivos $b$ tienen la propiedad de que $\log_b 729$ es un entero positivo?

How many positive integers $b$ have the property that $\log_b 729$ is a positive integer?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Si $\log_b 729 = n,$ entonces $b^n = 729 = 3^6,$ de modo que $n$ debe ser un divisor positivo de $6.$

Las posibilidades $n = 1, 2, 3, 6$ dan $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,$ es decir, $729, 27, 9,$ y $3.$

Hay $4$ valores de $b.$ de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $\log_b 729 = n,$ then $b^n = 729 = 3^6,$ so $n$ must be a positive divisor of $6.$

The possibilities $n = 1, 2, 3, 6$ give $b = 3^6, 3^3, 3^2, 3^1,$ that is, $729, 27, 9,$ and $3.$

There are $4$ such values of $b.$

Thus, the correct answer is E.