Question

Se eligen dos números primos distintos entre $4$ y $18$ . Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

Respuesta: C

Conceptos:primo paridad factorización

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Los primos entre $4$ y $18$ son $5, 7, 11, 13,$ y $17.$

Para dos de estos primos, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ es el producto de dos números pares menos $1,$ así que es congruente con $3 \pmod 4.$ Esto deja $119$ y $231.$ El segundo exigiría $(x-1)(y-1)=232,$ pero no hay dos números distintos de $\{4,6,10,12,16\}$ cuyo producto sea $232.$

En efecto, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

The primes between $4$ and $18$ are $5, 7, 11, 13,$ and $17.$

For two such primes, $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ is a product of two even numbers minus $1,$ hence it is $3 \pmod 4.$ This leaves $119$ and $231.$ The latter would require $(x-1)(y-1)=232,$ but no two distinct numbers in $\{4,6,10,12,16\}$ have product $232.$

Indeed, $\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 12 Problema 6

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

El Problema 6 en otros años