2000 AMC 12 Problema 6

Question

Se eligen dos números primos distintos entre

4

y

18

. Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between

4

and

18

are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

21

60

119

180

231

Respuesta: C

Conceptos:primo paridad factorización

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Los primos son

5, 7, 11, 13,

y

17

; nota que

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

The primes are

5, 7, 11, 13,

and

17

; note that

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

Pista grande:

Ambos primos son impares, así que

(x-1)(y-1)-1 \equiv 3 \pmod 4;

luego prueba los candidatos restantes.

Both primes are odd, so

(x-1)(y-1)-1 \equiv 3 \pmod 4;

then test the remaining candidates

Solución:

Los primos entre

4

y

18

son

5, 7, 11, 13,

y

17.

Para dos de estos primos,

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

es el producto de dos números pares menos

1,

así que es congruente con

3 \pmod 4.

Esto deja

119

y

231.

El segundo exigiría

(x-1)(y-1)=232,

pero no hay dos números distintos de

\{4,6,10,12,16\}

cuyo producto sea

232.

En efecto,

\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es C.

The primes between

4

and

18

are

5, 7, 11, 13,

and

17.

For two such primes,

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

is a product of two even numbers minus

1,

hence it is

3 \pmod 4.

This leaves

119

and

231.

The latter would require

(x-1)(y-1)=232,

but no two distinct numbers in

\{4,6,10,12,16\}

have product

232.

Indeed,

\begin{aligned} 11 \cdot 13 - (11 + 13) &= 143 - 24 \\ &= 119. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.