2000 AMC 12 Problema 15

Question

Sea

f

una función para la cual

f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.

Halla la suma de todos los valores de

z

para los cuales

f(3z) = 7.

Let

f

be a function for which

f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.

Find the sum of all values of

z

for which

f(3z) = 7.

-\dfrac{1}{3}

-\dfrac{1}{9}

0

\dfrac{5}{9}

\dfrac{5}{3}

Para evaluar

f(3z),

haz

\dfrac{x}{3} = 3z,

de modo que

x = 9z

.

To evaluate

f(3z),

set

\dfrac{x}{3} = 3z,

so

x = 9z

Esto da una cuadrática en

z

; usa la fórmula de la suma de raíces

-\dfrac{b}{a}

.

This gives a quadratic in

z

; use the sum-of-roots formula

-\dfrac{b}{a}

Al hacer

\dfrac{x}{3} = 3z

obtenemos

x = 9z,

así que

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}

Esto se reordena a

81z^2 + 9z - 6 = 0.

Por la fórmula de la suma de raíces, la suma de los valores de

z

es

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Setting

\dfrac{x}{3} = 3z

gives

x = 9z,

so

\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1 \\ &= 7. \end{aligned}

This rearranges to

81z^2 + 9z - 6 = 0.

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of

z

is

-\dfrac{9}{81} = -\dfrac{1}{9}.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 15 en otros años