Question

¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?

What is the largest number of acute angles that a convex hexagon can have?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:suma de ángulos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

Cada ángulo interior agudo corresponde a un ángulo exterior mayor que $90^\circ.$ Como los ángulos exteriores de un polígono convexo suman $360^\circ,$ a lo sumo tres pueden superar $90^\circ.$ Esta cota se alcanza: tomemos un hexágono de lados iguales cuyos ángulos exteriores alternan entre $100^\circ$ y $20^\circ.$ Las direcciones de sus lados se dividen en dos ternas separadas por $120^\circ$ , así que se cierra, y sus ángulos interiores alternan entre $80^\circ$ y $160^\circ.$ Por tanto, el máximo es tres.

Así, la respuesta correcta es B.

Each acute interior angle corresponds to an exterior angle greater than $90^\circ.$ Since the exterior angles of a convex polygon sum to $360^\circ,$ at most three of them can exceed $90^\circ.$ This bound is attainable: take a hexagon with equal side lengths and exterior angles alternating $100^\circ$ and $20^\circ.$ Its edge directions split into two triples $120^\circ$ apart, so it closes, and its interior angles alternate between $80^\circ$ and $160^\circ.$ Hence the largest possible number is three.

Thus, the correct answer is B.

1999 AMC 12 Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1310

Solución:

El Problema 7 en otros años