1999 AMC 12 Problema 7

Question

¿Cuál es el mayor número de ángulos agudos que puede tener un hexágono convexo?

What is the largest number of acute angles that a convex hexagon can have?

2

3

4

5

6

Los ángulos exteriores de un polígono convexo suman

360^\circ

.

The exterior angles of a convex polygon sum to

360^\circ

Un ángulo interior agudo da un ángulo exterior mayor que

90^\circ

.

An acute interior angle gives an exterior angle greater than

90^\circ

Cada ángulo interior agudo corresponde a un ángulo exterior mayor que

90^\circ.

Como los ángulos exteriores de un polígono convexo suman

360^\circ,

a lo sumo tres pueden superar

90^\circ.

Esta cota se alcanza: tomemos un hexágono de lados iguales cuyos ángulos exteriores alternan entre

100^\circ

y

20^\circ.

Las direcciones de sus lados se dividen en dos ternas separadas por

120^\circ

, así que se cierra, y sus ángulos interiores alternan entre

80^\circ

y

160^\circ.

Por tanto, el máximo es tres.

Así, la respuesta correcta es B.

Each acute interior angle corresponds to an exterior angle greater than

90^\circ.

Since the exterior angles of a convex polygon sum to

360^\circ,

at most three of them can exceed

90^\circ.

This bound is attainable: take a hexagon with equal side lengths and exterior angles alternating

100^\circ

and

20^\circ.

Its edge directions split into two triples

120^\circ

apart, so it closes, and its interior angles alternate between

80^\circ

and

160^\circ.

Hence the largest possible number is three.

Thus, the correct answer is B.

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