1999 AMC 12 Problema 16

Question

¿Cuál es el radio de un círculo inscrito en un rombo con diagonales de longitud

10

y

24

?

What is the radius of a circle inscribed in a rhombus with diagonals of length

10

and

24?

4

\dfrac{58}{13}

\dfrac{60}{13}

5

6

Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos

5

-

12

-

13

.

The diagonals cut the rhombus into four

5

-

12

-

13

right triangles

El inradio es igual a la altura desde el centro hasta un lado del rombo.

The inradius equals the altitude from the center to a side of the rhombus

Las semidiagonales son

5

y

12,

así que cada lado del rombo es

\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.

Uno de los cuatro triángulos rectángulos formados por las diagonales tiene catetos

5

y

12

y área

30.

La altura desde el centro hasta el lado de longitud

13

es

\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},

que es el radio del círculo inscrito.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The half-diagonals are

5

and

12,

so each side of the rhombus is

\sqrt{5^2 + 12^2} = 13.

One of the four right triangles formed by the diagonals has legs

5

and

12

and area

30.

The altitude from the center to the side of length

13

is

\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13},

which is the inscribed circle’s radius.

Thus, the correct answer is C.

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