1994 AMC 12 Problema 20

Question

Supón que

x,

y,

z

forman una sucesión geométrica de razón común

r

y que

x\ne y.

Si

x,

2y,

3z

forman una sucesión aritmética, entonces

r

es

Suppose

x,

y,

z

is a geometric sequence with common ratio

r

and

x\ne y.

If

x,

2y,

3z

is an arithmetic sequence, then

r

is

\frac14

\frac13

\frac12

2

4

Respuesta: B

Conceptos:geometric sequences arithmetic sequences quadratic equations

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Escribe

y=xr

y

z=xr^2

Write

y=xr

and

z=xr^2

Pista grande:

La condición de sucesión aritmética es

4y=x+3z

The arithmetic-sequence condition is

4y=x+3z

Solución:

Como

y=xr

y

z=xr^2,

la condición de sucesión aritmética da

4xr=x+3xr^2.

Aquí

x\ne0,

así que

3r^2-4r+1=0,

lo cual produce

r=1

o

r=\frac{1}{3}.

La condición

x\ne y

excluye

r=1,

por lo que queda

r=\frac{1}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because

y=xr

and

z=xr^2,

the arithmetic-sequence condition gives

4xr=x+3xr^2.

Here

x\ne0,

so

3r^2-4r+1=0,

yielding

r=1

or

r=\frac{1}{3}.

The condition

x\ne y

excludes

r=1,

leaving

r=\frac{1}{3}.

Thus the correct answer is B.