1992 AMC 12 Problema 14

Question

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen la misma gráfica?

\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

Which of the following equations have the same graph?

\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

ninguna; todas las ecuaciones tienen gráficas diferentes

None. All the equations have different graphs

Respuesta: E

Conceptos:graph domain restriction extraneous component

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Presta especial atención a lo que ocurre cuando

x=-2

Pay special attention to what happens when

x=-2

Pista grande:

La ecuación II omite un punto, mientras que la ecuación III incluye una recta vertical adicional completa

Equation II omits one point, while equation III includes an entire extra vertical line

Solución:

La ecuación I es toda la recta

y=x-2.

La ecuación II se simplifica a esa recta solo cuando

x\ne-2,

por lo que omite

(-2,-4).

En la ecuación III, todo punto con

x=-2

satisface

0=0;

para los demás valores de

x

se obtiene

y=x-2.

Por tanto, III es la recta junto con toda la recta vertical

x=-2.

Las tres gráficas son diferentes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equation I is the whole line

y=x-2.

Equation II simplifies to that line only when

x\ne-2,

so it omits

(-2,-4).

In equation III, every point with

x=-2

satisfies

0=0;

for other

x

it gives

y=x-2.

Thus III is the line together with the entire vertical line

x=-2.

The three graphs are different.

Thus the correct answer is E.

1992 AMC 12 Problema 14

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años