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1989 AMC 12 Problema 14

Intenta el Problema 14 del 1989 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1989 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

cot⁡10+tan⁡5=\cot10+\tan5=
csc⁡5\csc5
csc⁡10\csc10
sec⁡5\sec5
sec⁡10\sec10
sin⁡15\sin15
Respuesta: B
Conceptos:trigonometríamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Reescribe ambos términos con seno y coseno
Rewrite both terms using sine and cosine
Pista grande:
Usa sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5\sin10=2\sin5\cos5 y cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25\cos10=\cos^25-\sin^25
Use sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5\sin10=2\sin5\cos5 and cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25\cos10=\cos^25-\sin^25
Solución:
Usando sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5,\sin10=2\sin5\cos5, cot⁡10+tan⁡5=cos⁡10sin⁡10+sin⁡5cos⁡5. \begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned} El numerador común es cos⁡10+2sin⁡25.\cos10+2\sin^25. Como cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25,\cos10=\cos^25-\sin^25, este numerador es 1,1, y la expresión es csc⁡10.\csc10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Using sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5,\sin10=2\sin5\cos5, cot⁡10+tan⁡5=cos⁡10sin⁡10+sin⁡5cos⁡5. \begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned} Combining the fractions gives numerator cos⁡10+2sin⁡25.\cos10+2\sin^25. Since cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25,\cos10=\cos^25-\sin^25, this numerator is 1,1, and the expression is csc⁡10.\csc10.
Thus the correct answer is B.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

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