1988 AMC 12 Problema 21

Question

El número complejo

z

satisface

z+\lvert z\rvert=2+8i.

¿Cuál es

\lvert z\rvert^2

? Nota: si

z=a+bi,

entonces

\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

The complex number

z

satisfies

z+\lvert z\rvert=2+8i.

What is

\lvert z\rvert^2?

Note: if

z=a+bi,

then

\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.

68

100

169

208

289

Escribe

z=a+bi

y compara las partes imaginarias

Write

z=a+bi

and compare imaginary parts

Usa la parte real para relacionar

a

con

\sqrt{a^2+b^2}

Use the real part to relate

a

to

\sqrt{a^2+b^2}

Al escribir

z=a+bi

, se obtiene

b=8

y

a+\sqrt{a^2+64}=2.

Por tanto,

\sqrt{a^2+64}=2-a.

Al elevar al cuadrado se obtiene

a=-15.

En consecuencia,

\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Writing

z=a+bi

gives

b=8

and

a+\sqrt{a^2+64}=2.

Thus

\sqrt{a^2+64}=2-a.

Squaring yields

a=-15.

Therefore

\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.

Thus the correct answer is E.

El Problema 21 en otros años