1953 AMC 12 Problema 14

Question

De dos círculos, el mayor tiene centro

P

y radio

p

, y el menor tiene centro

Q

y radio

q.

Traza

\overline{PQ}.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

Given the larger of two circles with center

P

and radius

p

and the smaller with center

Q

and radius

q.

Draw

\overline{PQ}.

Which of the following statements is false?

p-q

puede ser igual a

\overline{PQ}

p-q

can be equal to

\overline{PQ}

p+q

puede ser igual a

\overline{PQ}

p+q

can be equal to

\overline{PQ}

p+q

puede ser menor que

\overline{PQ}

p+q

can be less than

\overline{PQ}

p-q

puede ser menor que

\overline{PQ}

p-q

can be less than

\overline{PQ}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:circles center distance tangency

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Interpreta la distancia entre los centros cuando los círculos son tangentes interiormente, tangentes exteriormente y disjuntos

Interpret the center distance for internal tangency, external tangency, and disjoint circles

Pista grande:

Para cada una de las primeras cuatro afirmaciones, intenta elegir una posición relativa válida de los círculos

For each of the first four statements, try to choose a valid relative position of the circles

Solución:

La tangencia interior produce

PQ=p-q,

y la tangencia exterior produce

PQ=p+q.

Los círculos disjuntos pueden cumplir

PQ\gt p+q,

y muchas configuraciones con círculos secantes o disjuntos cumplen

PQ\gt p-q.

Por lo tanto, cada una de las situaciones A a D puede ocurrir, así que ninguna es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Internal tangency realizes

PQ=p-q,

and external tangency realizes

PQ=p+q.

Disjoint circles can have

PQ\gt p+q,

and many intersecting or disjoint configurations have

PQ\gt p-q.

Thus each of A through D can occur, so none of them is false.

Therefore, the correct answer is E.