Question

设 $A, B$ 和 $C$ 是平面上的点，且 $AB = 40$ 、 $AC = 42$ 。令 $x$ 为从 $A$ 到 $\overline{BC}$ 中点的线段长度。定义函数 $f$ ，令 $f(x)$ 为 $\triangle ABC$ 的面积。那么 $f$ 的定义域是开区间 $(p, q)$ ，且 $f(x)$ 的最大值 $r$ 在 $x = s$ 时取得。求 $p + q + r + s$ 。

Suppose $A, B,$ and $C$ are points in the plane with $AB = 40$ and $AC = 42,$ and let $x$ be the length of the line segment from $A$ to the midpoint of $\overline{BC}.$ Define a function $f$ by letting $f(x)$ be the area of $\triangle ABC.$ Then the domain of $f$ is an open interval $(p, q),$ and the maximum value $r$ of $f(x)$ occurs at $x = s.$ What is $p + q + r + s?$

$909$

$910$

$911$

$912$

$913$

答案：C

知识点：中线（几何）三角不等式最优化

难度评级：2110

解答：

设 $a = BC$ 。中线长度满足 $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}$ 。三角形不等式要求 $2 \lt a \lt 82$ ，即 $4 \lt a^2 \lt 6724$ ，从而 $1 \lt x \lt 41$ 。所以 $(p, q) = (1, 41)$ 。

在 $AB = 40$ 、 $AC = 42$ 固定时，面积为 $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ ，当 $\angle A = 90^\circ$ 时最大，得 $r = 840$ 。此时 $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364$ ， $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841$ ，所以 $s = 29$ 。

因此 $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911$ 。

所以正确答案是 C。

Let $a = BC.$ The median length gives $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}.$ The triangle inequality requires $2 \lt a \lt 82,$ i.e. $4 \lt a^2 \lt 6724,$ which translates to $1 \lt x \lt 41.$ So $(p, q) = (1, 41).$

With $AB = 40$ and $AC = 42$ fixed, the area $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ is largest when $\angle A = 90^\circ,$ giving $r = 840.$ Then $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,$ so $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,$ i.e. $s = 29.$

Thus $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911.$

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2110

解答：

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