2024 AMC 12B 第 20 题

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20.

设

A

，

B

和

C

是平面上的点，且

AB = 40

、

AC = 42

。令

x

为从

A

到

\overline{BC}

中点的线段长度。定义函数

f

，令

f(x)

为

\triangle ABC

的面积。那么

f

的定义域是开区间

(p, q)

，且

f(x)

的最大值

r

在

x = s

时取得。求

p + q + r + s

。

Suppose

A,

B,

and

C

are points in the plane with

AB = 40

and

AC = 42,

and let

x

be the length of the line segment from

A

to the midpoint of

\overline{BC}.

Define a function

f

by letting

f(x)

be the area of

\triangle ABC.

Then the domain of

f

is an open interval

(p, q),

and the maximum value

r

of

f(x)

occurs at

x = s.

What is

p + q + r + s?

909

910

911

912

913

答案：C

知识点：中线（几何）三角不等式最优化

难度评级：2110

小提示：

设

a = BC

，则中线满足

x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4}

；三角形不等式

2 \lt a \lt 82

决定定义域。

The median satisfies

x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},

where

a = BC;

the triangle inequality

2 \lt a \lt 82

determines the domain

大提示：

面积在

\angle A = 90^\circ

时最大；求该最大面积和对应的

x

。

The area is largest when

\angle A = 90^\circ;

find that maximum area and the corresponding

x

解答：

设

a = BC

。中线长度满足

x^2

= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}

= \dfrac{6728 - a^2}{4}

。三角形不等式要求

2 \lt a \lt 82

，即

4 \lt a^2 \lt 6724

，从而

1 \lt x \lt 41

。所以

(p, q) = (1, 41)

。

在

AB = 40

、

AC = 42

固定时，面积为

\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A

，当

\angle A = 90^\circ

时最大，得

r = 840

。此时

a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364

，

x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841

，所以

s = 29

。

因此

p + q + r + s

= 1 + 41 + 840 + 29

= 911

。

所以正确答案是 C。

Let

a = BC.

The median length gives

x^2

= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}

= \dfrac{6728 - a^2}{4}.

The triangle inequality requires

2 \lt a \lt 82,

i.e.

4 \lt a^2 \lt 6724,

which translates to

1 \lt x \lt 41.

So

(p, q) = (1, 41).

With

AB = 40

and

AC = 42

fixed, the area

\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A

is largest when

\angle A = 90^\circ,

giving

r = 840.

Then

a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,

so

x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,

i.e.

s = 29.

Thus

p + q + r + s

= 1 + 41 + 840 + 29

= 911.

Thus, the correct answer is C.

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