Question

设 $x$ 和 $y$ 为正实数，并满足

以及 $x^y = 2^{64}$ $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

$\log_2 y$ 的最大可能值是多少？

Suppose $x$ and $y$ are positive real numbers such that

$x^y = 2^{64}$ and $(\log_2 x)^{\log_2 y} = 2^7.$

What is the greatest possible value of $\log_2 y?$

$3$

$4$

$3 + \sqrt2$

$4 + \sqrt3$

$7$

答案：C

知识点：对数换元法二次方程

难度评级：1800

解答：

令 $a = \log_2 x$ 、 $b = \log_2 y$ 。对第一个方程取 $\log_2$ ，由 $x^y = 2^{64}$ 得 $y \log_2 x = 64$ ，即 $a \cdot 2^b = 2^6$ 。

对第二个方程取 $\log_2$ 得到 $b \log_2 a = 7$ ，所以 $a = 2^{7/b}$ 。代入前式得 $2^{7/b} \cdot 2^b = 2^6$ 也就是 $b + \dfrac7b = 6$ ，即 $b^2 - 6b + 7 = 0$ 。

解得 $b = 3 \pm \sqrt2$ ，因此 $\log_2 y$ 的最大可能值为 $3 + \sqrt2$ 。

所以正确答案是 C。

Let $a = \log_2 x$ and $b = \log_2 y.$ Taking $\log_2$ of $x^y = 2^{64}$ gives $y \log_2 x = 64,$ i.e. $a \cdot 2^b = 2^6.$

Taking $\log_2$ of the second equation gives $b \log_2 a = 7,$ so $a = 2^{7/b}.$ Substituting, $2^{7/b} \cdot 2^b = 2^6,$ so $b + \dfrac7b = 6,$ i.e. $b^2 - 6b + 7 = 0.$

Thus $b = 3 \pm \sqrt2,$ and the greatest value of $\log_2 y$ is $3 + \sqrt2.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B 第 16 题

答案：C

难度评级：1800

解答：

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