2021 AMC 12B Fall 第 23 题

Question

从集合

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}

中随机选出

5

个不同整数组成一个子集。这个子集中相邻整数对的平均个数是多少？（例如集合

\{1, 17, 18, 19, 30\}

有

2

对相邻整数。）

What is the average number of pairs of consecutive integers in a randomly selected subset of

5

distinct integers chosen from the set

\{1, 2, 3, \ldots, 30\}?

(For example the set

\{1, 17, 18, 19, 30\}

has

2

pairs of consecutive integers.)

\dfrac{2}{3}

\dfrac{29}{36}

\dfrac{5}{6}

\dfrac{29}{30}

1

答案：A

知识点：期望值无放回抽样

难度评级：2190

小提示：

对

29

个可能的相邻对

(i, i+1)

使用期望的线性性。

Use linearity of expectation over the

29

possible consecutive pairs

(i, i+1)

大提示：

同时选中

i

和

i+1

的概率为

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

。

The probability that both

i

and

i+1

are chosen is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29}

解答：

对

29

个相邻对中的每一对

(i, i+1)

，设指标变量在两数都被选中时为

1

。这个事件的概率为

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}

。

由期望的线性性，相邻整数对的期望数为

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}

。

所以正确答案是 A。

For each of the

29

adjacent pairs

(i, i+1),

let an indicator be

1

if both are in the subset. The probability of this is

\dfrac{5}{30} \cdot \dfrac{4}{29} = \dfrac{2}{87}.

By linearity of expectation, the expected number of consecutive pairs is

29 \cdot \dfrac{2}{87} = \dfrac{2}{3}.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall 第 23 题

答案：A

难度评级：2190

小提示：

大提示：

解答：

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