2021 AMC 12A Fall 第 23 题

Question

首项系数为

1

、且系数为实数的二次多项式称为“无礼”的，如果方程

p(p(x)) = 0

恰好有三个实数解。在所有无礼二次多项式中，有唯一一个多项式

\tilde{p}(x)

，使得其根的和最大。

\tilde{p}(1)

是多少？

A quadratic polynomial with real coefficients and leading coefficient

1

is called disrespectful if the equation

p(p(x)) = 0

is satisfied by exactly three real numbers. Among all the disrespectful quadratic polynomials, there is a unique such polynomial

\tilde{p}(x)

for which the sum of the roots is maximized. What is

\tilde{p}(1)?

\dfrac{5}{16}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{5}{8}

1

\dfrac{9}{8}

答案：A

知识点：多项式二次方程最优化

难度评级：2380

小提示：

若

p

的根为

r, s

则

p(p(x)) = 0

表示

p(x) = r

或

p(x) = s

；恰有三个根要求其中一个方程有重根

If

p

has roots

r, s,

then

p(p(x)) = 0

means

p(x) = r

or

p(x) = s;

exactly three roots requires one of these to have a double root

大提示：

在

(r - s)^2 + 4s = 0

下令

u = r - s

，最大化

r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u

。

With

(r - s)^2 + 4s = 0

and letting

u = r - s,

maximize

r + s = -\tfrac{u^2}{2} + u

解答：

设

p

的根为

r

和

s

。那么

p(p(x)) = 0

分解成

p(x) = r

与

p(x) = s

，两个判别式分别为

(r - s)^2 + 4r

和

(r - s)^2 + 4s

。恰有三个实根意味着一个判别式为

0

，另一个为正。

取

(r - s)^2 + 4s = 0

，并令

u = r - s

。则

s = -\tfrac{u^2}{4}

，另一个判别式为

4u

，所以

u>0

。此外，

r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u

，它在

u=1

时达到最大值，此时

r=\tfrac34

且

s=-\tfrac14

。

所以

\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right)

，并且

\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}

。

因此，正确答案是 A。

Let

p

have roots

r

and

s.

Then

p(p(x)) = 0

splits into

p(x) = r

and

p(x) = s,

with discriminants

(r - s)^2 + 4r

and

(r - s)^2 + 4s.

Exactly three real roots means one discriminant is

0

and the other positive.

Take

(r - s)^2 + 4s = 0

and set

u = r - s.

Then

s = -\tfrac{u^2}{4}

and the other discriminant is

4u,

so

u>0.

Also

r+s=-\tfrac{u^2}{2}+u,

maximized at

u=1,

giving

r=\tfrac34

and

s=-\tfrac14.

So

\tilde{p}(x) = \left(x - \tfrac34\right)\left(x + \tfrac14\right),

and

\tilde{p}(1) = \tfrac14\cdot\tfrac54 = \tfrac{5}{16}.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Fall 第 23 题

答案：A

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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