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2021 AMC 12B Spring 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

设 Q(z)Q(z) 和 R(z)R(z) 是唯一满足 且 RR 的次数小于 22 的多项式。R(z)R(z) 是什么？ z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z) \begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}

Let Q(z)Q(z) and R(z)R(z) be the unique polynomials such that z2021+1=(z2+z+1)Q(z)+R(z) \begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned} and the degree of RR is less than 2.2. What is R(z)?R(z)?

−z-z

−1-1

20212021

z+1z+1

2z+12z+1

答案：A
知识点：多项式单位根模运算
难度评级：1990
解答：

因为 z3≡1(modz2+z+1)z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1} 且 2021=3⋅673+22021=3\cdot 673+2， 所以 z2021≡z2z^{2021}\equiv z^2。

因此 z2021+1≡z2+1z^{2021}+1\equiv z^2+1。 再用 z2≡−z−1z^2\equiv -z-1， 化简，得到 −z−1+1=−z-z-1+1=-z。

所以 R(z)=−zR(z)=-z。

所以正确答案是 A。

Since z3≡1(modz2+z+1)z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1} and 2021=3⋅673+2,2021=3\cdot 673+2, we have z2021≡z2.z^{2021}\equiv z^2.

So z2021+1≡z2+1.z^{2021}+1\equiv z^2+1. Reducing further with z2≡−z−1,z^2\equiv -z-1, this is −z−1+1=−z.-z-1+1=-z.

Therefore R(z)=−z.R(z)=-z.

Thus, the correct answer is A.

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