2021 AMC 12B Spring 第 20 题

先试着解答 2021 AMC 12B Spring 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12B Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

设

Q(z)

和

R(z)

是唯一满足

\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}

且

R

的次数小于

2

的多项式。

R(z)

是什么？

Let

Q(z)

and

R(z)

be the unique polynomials such that

\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}

and the degree of

R

is less than

2.

What is

R(z)?

-z

-1

2021

z+1

2z+1

答案：A

知识点：多项式单位根模运算

难度评级：1990

小提示：

模

z^2+z+1

时有

z^3\equiv 1

，因为

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

Modulo

z^2+z+1

we have

z^3\equiv 1,

since

z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)

大提示：

先把指数

2021

对

3

取余，再用

z^2\equiv -z-1

化简

z^2

Reduce the exponent

2021

modulo

3,

then reduce

z^2

using

z^2\equiv -z-1

解答：

因为

z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}

且

2021=3\cdot 673+2

，所以

z^{2021}\equiv z^2

。

因此

z^{2021}+1\equiv z^2+1

。再用

z^2\equiv -z-1

，化简，得到

-z-1+1=-z

。

所以

R(z)=-z

。

所以正确答案是 A。

Since

z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}

and

2021=3\cdot 673+2,

we have

z^{2021}\equiv z^2.

So

z^{2021}+1\equiv z^2+1.

Reducing further with

z^2\equiv -z-1,

this is

-z-1+1=-z.

Therefore

R(z)=-z.

Thus, the correct answer is A.

其他年份的第 20 题