Question

假设一条顶点为 $V$ 、焦点为 $F$ 的抛物线上存在一点 $A$ ，使得 $AF = 20$ 且 $AV = 21$ 。长度 $FV$ 的所有可能值之和是多少？

Suppose that on a parabola with vertex $V$ and a focus $F$ there exists a point $A$ such that $AF = 20$ and $AV = 21.$ What is the sum of all possible values of the length $FV?$

$13$

$\dfrac{40}{3}$

$\dfrac{41}{3}$

$14$

$\dfrac{43}{3}$

答案：B

知识点：抛物线距离公式韦达定理

难度评级：2300

解答：

令 $V = (0, 0)$ ，焦点 $F = (0, f)$ ，准线为 $y = -f$ ，其中 $f = FV$ 。抛物线上的点 $A = (x, y)$ 满足 $x^2 = 4fy$ ，且 $AF = y + f = 20$ ，所以 $y = 20 - f$ 。又 $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441$ 。

代入 $y = 20 - f$ ：由 Vieta 公式，两个可能的 $f$ 值之和为 $\dfrac{40}{3}$ 。 $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$

因此，正确答案是 B。

Let $V = (0, 0),$ focus $F = (0, f),$ and directrix $y = -f,$ where $f = FV.$ A point $A = (x, y)$ on the parabola satisfies $x^2 = 4fy$ and $AF = y + f = 20,$ so $y = 20 - f.$ Also $AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2$ $= 441.$

Substituting $y = 20 - f:$ $\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}$ By Vieta's formulas, the sum of the two possible values of $f$ is $\dfrac{40}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Spring 第 20 题

答案：B

难度评级：2300

解答：

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