2021 AMC 12A Spring 第 20 题

Question

假设一条顶点为

V

、焦点为

F

的抛物线上存在一点

A

，使得

AF = 20

且

AV = 21

。长度

FV

的所有可能值之和是多少？

Suppose that on a parabola with vertex

V

and a focus

F

there exists a point

A

such that

AF = 20

and

AV = 21.

What is the sum of all possible values of the length

FV?

13

\dfrac{40}{3}

\dfrac{41}{3}

14

\dfrac{43}{3}

答案：B

知识点：抛物线距离公式韦达定理

难度评级：2300

小提示：

将

V

放在原点，令焦距

f = FV

；那么

AF

等于

A

到准线的距离

Put

V

at the origin with focal distance

f = FV;

then

AF

equals the distance from

A

to the directrix

大提示：

设

A = (x, y)

，使用

y + f = 20

和

x^2 + y^2 = 21^2

，再结合

x^2 = 4fy

得到关于

f

的二次方程

With

A = (x, y),

use

y + f = 20

and

x^2 + y^2 = 21^2,

with

x^2 = 4fy,

to get a quadratic in

f

解答：

令

V = (0, 0)

，焦点

F = (0, f)

，准线为

y = -f

，其中

f = FV

。抛物线上的点

A = (x, y)

满足

x^2 = 4fy

，且

AF = y + f = 20

，所以

y = 20 - f

。又

AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2

= 441

。

代入

y = 20 - f

：

\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0\text{。} \end{aligned}

由 Vieta 公式，两个可能的

f

值之和为

\dfrac{40}{3}

。

因此，正确答案是 B。

Let

V = (0, 0),

focus

F = (0, f),

and directrix

y = -f,

where

f = FV.

A point

A = (x, y)

on the parabola satisfies

x^2 = 4fy

and

AF = y + f = 20,

so

y = 20 - f.

Also

AV^2 = x^2 + y^2 = 4fy + y^2

= 441.

Substituting

y = 20 - f:

\begin{aligned} &4f(20 - f) + (20 - f)^2 = 441 \\ &\;\Longrightarrow\; 3f^2 - 40f + 41 = 0. \end{aligned}

By Vieta’s formulas, the sum of the two possible values of

f

is

\dfrac{40}{3}.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12A Spring 第 20 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 20 题