2019 AMC 12A 第 18 题

Question

有一个以

O

为球心、半径为

6

的球。一个三边长分别为

15

，

15

和

24

的三角形位于空间中，它的每条边都与该球相切。求

O

到这个三角形所在平面的距离。

A sphere with center

O

has radius

6.

A triangle with sides of length

15,

15,

and

24

is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between

O

and the plane determined by the triangle?

2\sqrt{3}

4

3\sqrt{2}

2\sqrt{5}

5

答案：D

知识点：球内切圆、内心与内切圆半径勾股定理

难度评级：1910

小提示：

球与该平面相交成一个圆，这个圆与三边都相切，所以它是三角形的内切圆

The sphere meets the plane in a circle tangent to all three sides, so that circle is the incircle

大提示：

若距离为

d

，截圆半径为

\sqrt{36 - d^2}

，它等于三角形的内切圆半径

If

d

is the distance, the cross-circle has radius

\sqrt{36 - d^2},

which equals the inradius

解答：

球与三角形所在平面相交成一个半径为

\sqrt{36 - d^2}

的圆，其中

d

是

O

到该平面的距离。因为每条边都与球相切，这个圆就是三角形的内切圆。

该三角形面积为

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

，半周长为

27

，所以内切圆半径为

\dfrac{108}{27} = 4

。

因此

\sqrt{36 - d^2} = 4

，得

d^2 = 20

，所以

d = 2\sqrt{5}

。

所以正确答案是 D。

The sphere intersects the triangle’s plane in a circle of radius

\sqrt{36 - d^2},

where

d

is the distance from

O

to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle’s incircle.

The triangle has area

\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108

and semiperimeter

27,

so its inradius is

\dfrac{108}{27} = 4.

Thus

\sqrt{36 - d^2} = 4,

giving

d^2 = 20

and

d = 2\sqrt{5}.

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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