Question

有一个以 $O$ 为球心、半径为 $6$ 的球。一个三边长分别为 $15, 15$ 和 $24$ 的三角形位于空间中，它的每条边都与该球相切。求 $O$ 到这个三角形所在平面的距离。

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

答案：D

知识点：球内切圆、内心与内切圆半径勾股定理

难度评级：1910

解答：

球与三角形所在平面相交成一个半径为 $\sqrt{36 - d^2}$ 的圆，其中 $d$ 是 $O$ 到该平面的距离。因为每条边都与球相切，这个圆就是三角形的内切圆。

该三角形面积为 $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ ，半周长为 $27$ ，所以内切圆半径为 $\dfrac{108}{27} = 4$ 。

因此 $\sqrt{36 - d^2} = 4$ ，得 $d^2 = 20$ ，所以 $d = 2\sqrt{5}$ 。

所以正确答案是 D。

The sphere intersects the triangle's plane in a circle of radius $\sqrt{36 - d^2},$ where $d$ is the distance from $O$ to the plane. Since each side is tangent to the sphere, this circle is the triangle's incircle.

The triangle has area $\tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 108$ and semiperimeter $27,$ so its inradius is $\dfrac{108}{27} = 4.$

Thus $\sqrt{36 - d^2} = 4,$ giving $d^2 = 20$ and $d = 2\sqrt{5}.$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A 第 18 题

答案：D

难度评级：1910

解答：

其他年份的第 18 题