2018 AMC 12B 第 23 题

Question

Ajay 站在印度尼西亚 Pontianak 附近的点

A

，纬度

0^\circ

，经度

110^\circ

E。Billy 站在美国爱达荷州 Big Baldy Mountain 附近的点

B

，纬度

45^\circ

N，经度

115^\circ

W。假设地球是以

C

为球心的完美球体。

\angle ACB

的度数是多少？

Ajay is standing at point

A

near Pontianak, Indonesia,

0^\circ

latitude and

110^\circ

E longitude. Billy is standing at point

B

near Big Baldy Mountain, Idaho, USA,

45^\circ

N latitude and

115^\circ

W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center

C.

What is the degree measure of

\angle ACB?

105

112\tfrac{1}{2}

120

135

150

答案：C

知识点：立体几何球向量

难度评级：2400

小提示：

经度差为

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ

。

The longitude difference is

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ

大提示：

把两个点放在单位球面上，并计算它们位置向量的点积。

Put both points on a unit sphere and take the dot product of their position vectors

解答：

两地经度差为

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ

，且

B

位于北纬

45^\circ

。把

A=(1,0,0)

放在单位球面上。

于是

B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)

=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)

。点积为

A\cdot B=-\tfrac12

，所以

\cos\angle ACB=-\tfrac12

，从而

\angle ACB=120^\circ

。

所以正确答案是 C。

The longitudes differ by

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,

and

B

is at latitude

45^\circ

N. Place

A=(1,0,0)

on the unit sphere.

Then

B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)

=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).

The dot product is

A\cdot B=-\tfrac12,

so

\cos\angle ACB=-\tfrac12

and

\angle ACB=120^\circ.

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 23 题

答案：C

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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