Question

三角形 $ABC$ 是等腰直角三角形，且 $AB = AC = 3$ 。设 $M$ 为斜边 $\overline{BC}$ 的中点。点 $I$ 和 $E$ 分别在边 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 上，使得 $AI \gt AE$ ，并且 $AIME$ 是圆内接四边形。已知三角形 $EMI$ 的面积为 $2$ ，则长度 $CI$ 可写成 $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是正整数，且 $b$ 不被任何质数的平方整除。 $a + b + c$ 的值是多少？

Triangle $ABC$ is an isosceles right triangle with $AB = AC = 3.$ Let $M$ be the midpoint of hypotenuse $\overline{BC}.$ Points $I$ and $E$ lie on sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $AI \gt AE$ and $AIME$ is a cyclic quadrilateral. Given that triangle $EMI$ has area $2,$ the length $CI$ can be written as $\tfrac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is the value of $a + b + c?$

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

答案：D

知识点：圆内接四边形余弦定理三角形面积

难度评级：2110

解答：

因为 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形， $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ ，且 $B, C$ 处的底角为 $45^\circ$ 。由于 $AIME$ 是圆内接四边形且 $A$ 处是直角，角 $\angle IME = 90^\circ$ 。令 $x = CI$ ， $y = BE$ 。在 $\triangle MCI$ 中由余弦定理，同理， $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92$ 。 $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92, \end{aligned}$

对直角三角形 $EMI$ 和 $IAE$ 使用勾股定理，得到 $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2$ ，化简为 $x + y = 3$ 。面积条件 $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ 表示 $IM^2 \cdot ME^2 = 16$ 。代入 $y = 3 - x$ 后， $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2$ ，所以 $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16$ ，因而 $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4$ ，即 $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0$ 。

因为 $AI \gt AE$ 迫使 $y \gt x$ ，所以取较小根 $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$ 。于是 $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12$ 。

所以正确答案是 D。

Since $\triangle ABC$ is an isosceles right triangle, $CM = BM = \tfrac32 \sqrt2$ and the base angles at $B, C$ are $45^\circ.$ As $AIME$ is cyclic with right angle at $A,$ angle $\angle IME = 90^\circ.$ Let $x = CI$ and $y = BE.$ By the Law of Cosines in $\triangle MCI,$ $\begin{aligned} IM^2 &= x^2 + \tfrac92 \\ &\quad {}- 2 \cdot x \cdot \tfrac32\sqrt2 \cdot \cos 45^\circ \\ &= x^2 - 3x + \tfrac92, \end{aligned}$ and similarly $ME^2 = y^2 - 3y + \tfrac92.$

The Pythagorean Theorem in right triangles $EMI$ and $IAE$ gives $IM^2 + ME^2$ $= (3-x)^2$ $+ (3-y)^2,$ which simplifies to $x + y = 3.$ The area condition $\tfrac12 IM \cdot ME = 2$ means $IM^2 \cdot ME^2 = 16.$ Substituting $y = 3 - x$ makes $ME^2 = x^2 - 3x + \tfrac92 = IM^2,$ so $\left(x^2 - 3x + \tfrac92\right)^2 = 16,$ hence $x^2 - 3x + \tfrac92 = 4,$ i.e. $x^2 - 3x + \tfrac12 = 0.$

Since $AI \gt AE$ forces $y \gt x,$ we take the smaller root $x = \tfrac{3 - \sqrt{7}}{2}.$ Then $a + b + c = 3 + 7 + 2 = 12.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12A 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

解答：

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