2017 AMC 12A 第 20 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

有多少个有序对

(a,b)

满足：

a

是正实数，

b

是

2

到

200

之间（含端点）的整数，且

(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})

？

How many ordered pairs

(a,b)

such that

a

is a positive real number and

b

is an integer between

2

and

200,

inclusive, satisfy the equation

(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})?

198

199

398

399

597

答案：E

知识点：对数基本计数

难度评级：2110

小提示：

令

u=\log_b a

；方程变为

u^{2017}=2017u

。

Let

u=\log_b a;

the equation becomes

u^{2017}=2017u

大提示：

要么

u=0

，要么

u^{2016}=2017

；对每个允许的

199

个底数计数

a

的个数

Either

u=0

or

u^{2016}=2017;

count the

a

values for each of the

199

allowed bases

解答：

令

u=\log_b a

。因为

\log_b(a^{2017})=2017\log_b a

，方程为

u^{2017}=2017u

，所以

u=0

或

u^{2016}=2017

。

若

u=0

则

a=1

，对所有

199

个底数都有效。若

u^{2016}=2017

则

u=\pm2017^{\frac{1}{2016}}

，对每个底数给出

2

个

a

值，也就是

2\cdot199=398

个有序对。

总共有

199+398=597

个有序对。

所以正确答案是 E。

Let

u=\log_b a.

Since

\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,

the equation is

u^{2017}=2017u,

so

u=0

or

u^{2016}=2017.

If

u=0,

then

a=1,

valid for every one of the

199

bases. If

u^{2016}=2017,

then

u=\pm2017^{\frac{1}{2016}},

giving

2

values of

a

for each base, i.e.

2\cdot199=398

pairs.

In total there are

199+398=597

ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

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