Question

有多少个有序对 $(a,b)$ 满足： $a$ 是正实数， $b$ 是 $2$ 到 $200$ 之间（含端点）的整数，且 $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})$ ？

How many ordered pairs $(a,b)$ such that $a$ is a positive real number and $b$ is an integer between $2$ and $200,$ inclusive, satisfy the equation $(\log_b a)^{2017}=\log_b(a^{2017})?$

$198$

$199$

$398$

$399$

$597$

答案：E

知识点：对数基本计数

难度评级：2110

解答：

令 $u=\log_b a$ 。因为 $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a$ ，方程为 $u^{2017}=2017u$ ，所以 $u=0$ 或 $u^{2016}=2017$ 。

若 $u=0$ 则 $a=1$ ，对所有 $199$ 个底数都有效。若 $u^{2016}=2017$ 则 $u=\pm2017^{1/2016}$ ，对每个底数给出 $2$ 个 $a$ 值，也就是 $2\cdot199=398$ 个有序对。

总共有 $199+398=597$ 个有序对。

所以正确答案是 E。

Let $u=\log_b a.$ Since $\log_b(a^{2017})=2017\log_b a,$ the equation is $u^{2017}=2017u,$ so $u=0$ or $u^{2016}=2017.$

If $u=0,$ then $a=1,$ valid for every one of the $199$ bases. If $u^{2016}=2017,$ then $u=\pm2017^{1/2016},$ giving $2$ values of $a$ for each base, i.e. $2\cdot199=398$ pairs.

In total there are $199+398=597$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

2017 AMC 12A 第 20 题

答案：E

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 20 题