2015 AMC 12B 第 18 题

Question

对每个正合数

n

，定义

r(n)

为

n

的质因数分解中各因子的和。例如，

r(50) = 12

，因为

50

的质因数分解是

2 \cdot 5^2

，且

2 + 5 + 5 = 12

。函数

r

的值域

\{r(n) : n \text{ 是正合数}\}

是什么？

For every composite positive integer

n,

define

r(n)

to be the sum of the factors in the prime factorization of

n.

For example,

r(50) = 12

because the prime factorization of

50

is

2 \cdot 5^2,

and

2 + 5 + 5 = 12.

What is the range of the function

r,

\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?

正整数集合

the set of positive integers

合数正整数集合

the set of composite positive integers

偶正整数集合

the set of even positive integers

大于

3

的整数集合

the set of integers greater than

3

大于

4

的整数集合

the set of integers greater than

4

答案：D

知识点：质因数分解函数

难度评级：1970

小提示：

最小值来自最小的合数，

4 = 2 \cdot 2

。

The smallest value comes from the smallest composite,

4 = 2 \cdot 2

大提示：

说明每个大于

3

的整数都能取到，例如

r(2^k) = 2k

且

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

Show every integer greater than

3

is attained, e.g.

r(2^k) = 2k

and

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

解答：

一个合数至少有两个质因子（按重数计），而最小质数是

2

，所以最小可能值是

2 + 2 = 4

。

每个大于

3

的整数都能取到：

r(2^k) = 2k

覆盖所有

\ge 4

的偶数值，

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

覆盖所有

\ge 5

的奇数值。所以值域是大于

3

的整数。

因此，正确选项是 D。

A composite number has at least two prime factors (with multiplicity), and the smallest prime is

2,

so the least possible value is

2 + 2 = 4.

Every integer greater than

3

is attained:

r(2^k) = 2k

covers the even values

\ge 4,

and

r(2^k\cdot 3) = 2k + 3

covers the odd values

\ge 5.

So the range is the integers greater than

3.

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12B 第 18 题

答案：D

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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